Definition: Basis

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Definition: Basis

Eine Teilmenge eines Vektorraumes heißt eine Basis von , wenn jeder Vektor $v \in V$ eindeutig in Form einer endlichen Linearkombination

$v = \sum \limits_{j=1}^{m} \alpha _{j}b_{j}$ , $\qquad b_{j} \in B$ , $\quad m \in \N$ , (8.11)

von Basiselementen dargestellt werden kann.

Die Skalare $\alpha _{j}$ nennt man die Koordinaten des Vektors $v$ bezüglich der Basis $B$ .

Läßt sich jeder Vektor $v\in V$ - nicht notwendigerweise eindeutig - in der als einem Erzeugendensystem.

Besitzt ein Vektorraum $V$ eine endliche Basis, so wird die allen Basen von $V$ gemeinsamen Anzahl von Basisvektoren die Dimension von $V$ genannt. Besitzt $V$ jedoch keine endliche Basis, so heißt $V$ unendlich-dimensional.

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Beispiele:

Euklidischer Raum

Die Zahlenräume $\R^n$ sind endlich-dimensional von der Dimension n. Sie besitzen z.B. die kanonische Basis

$e_1 = (1,0,\dots,0), \quad e_2 = (0,1,0,\dots,0), \, \dots\,,\, e_n = (0,\dots,0,1).$

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Stetige Funktionen

Der lineare Raum der stetigen Funktionen C[a, b] ist nicht endlich-dimensional, er ist vielmehr ein unendlich-dimensionaler Vektorraum.

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Polynome

Die Menge $\P_{d}$ aller Polynome vom Maximalgrad d ist ein linearer Raum der Dimension d+1;

hingegen ist die Menge $\P$ aller Polynome ein unendlich-dimensionaler Vektorraum.

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