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Inhaltsverzeichnis Kapitel 7.4.4 Interpolatorische Quadraturformeln


7.4.4.3 Zusammengesetzte Qaudraturformeln

  • 7.4.4.3.1 Allgemeines
  • 7.4.4.3.2 Konvergenz
  • 7.4.4.3.3 Zusammengesetzte Trapezregel
  • Beispiel für die zusammengesetzte Trapezregel
  • 7.4.4.3.4 IMT-Formeln

    • 7.4.4 Interpolatorische Quadraturformeln

    7.4.4.3 Zusammengesetzte Quadraturformeln

    7.4.4.3.1 Allgemeines:

    In den vorigen Kapiteln wurden verschiedene einfache interpolatorische Quadraturformeln besprochen, also solche, die durch Integration eines Interpolationspolynoms auf dem Integrationsintervall zustande kamen. In diesem Abschnitt sollen nun Formeln diskutiert werden, die man durch Integration eines stückweisen Polynoms erhält. Äquivalent zu diesem Zugang ist die Unterteilung des Intervalls [a,b] in Teilintervalle, auf die dann jeweils eine einfache interpolatorische Formel angewandt wird. Von zentraler Bedeutung für die numerische Integration ist der Umstand, daß ein bestimmtes Integral über einem Intervall [a,b] als Integralen über disjunkte Teilintervalle additiv zusammengesetzt werden kann.
    $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^{x_1}f(x)dx+\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx+...+\int\limits_{x_{k-1}}^bf(x)dx$

    In diesem Abschnitt wird angenommen, daß [a,b] durch die Teilungspunkte a = x0 < x1 < ... < xk = b in k äquidistante Teilintervalle zerlegt wird (Nichtäquidistante Unterteilungen von [a,b] werden im Zusammenhang mit Integrationsalgorithmen behandelt). In jedem dieser k Teilintervalle wird die gleiche einfache N-Punkt-Quadraturformel QN angewendet. Die sich damit ergebende zusammengesetzte Quadraturformel wird mit k x QN bezeichnet.
    In jenen Fällen, wo QN eine abgeschlossene Formel ist - bei der also beide Intervallendpunkte Quadraturabszissen sind - ist die Anzahl k(N - 1) + 1 der Abszissen der zusammengesetzten Formel k x QN niedriger als k . N, da die Abszissen an den Intervallgrenzen x1, x2, ... , xk - 1 nur einmal zu zählen sind, weil dort nur ein f-Wert benötigt wird.

    7.4.4.3.2 Konvergenz:

    Im Gegensatz zu den einfachen Quadraturformeln konvergieren zusammengesetzte Quadraturformeln für alle Riemann-integrierbaren Funktionen.

    Satz: Sei QN eine N-Punkt-Quadraturformel mit einem Genauigkeitsgrad D >= 0, d. h. f = 1 wird von QN exakt integriert. Dann gilt für jede auf [a,b] beschränkte, Riemann-integrierbare Funktion (k x QN) f --> If für k --> unendlich.

    Dieser Satz liefert ein starkes Argument für die Verwendung zusammengesetzter Formeln. Ein weiterer Vorteil des Formelzusammensetzens ist die Möglichkeit der ungleichmäßigen adaptiven Gitterverfeinerung (Diskretisierungs-Strategie). Fast alle Computerprogramme zur numerischen Quadratur beruhen in irgendeiner Form auf zusammengesetzte Formeln.

    7.4.4.3.3 Zusammengesetzte Trapezregel:

    Eine wichtige Integrationsformel ist die zusammengesetzte Trapezregel Tl = l x T,
    $T_lf=h\left[ \frac 12f(a)+f(a+h)+...+f(a+(l-1)h)+\frac 12f(b)\right] $

    Den Fehler der (l + 1)-Punkt-Formel Tl kann man - bei ausreichender Differenzierbarkeit der Integrandenfunktion f - sehr genau charakterisieren.

    Satz: (Euler-Maclaurinsche Summenformel): Es gilt die Fehlerformel

    $\matrix T_lf-If= & \frac{B_2}{2!}h^2\left[ f^{(1)}(b)-f^{(1)}(a)\right] + \\ & +\frac{B_4}{4!}h^4\left[ f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\right] +...+ \\ &+\frac{B_{2k}}{\left( 2k\right) !}h^{2k}\left[f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right] + \\ & +h^{2k+1}\int\limits_a^b\barP_{2k+1}\left( l\frac{x-a}{b-a}\right) f^{(2k+1)}dx, \\ \text{f\

    wobei die Konstanten die Bernoulli-Zahlen B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 = 1/42, B8 = -1/30, B10 = 5/66, ... sind. Die Funktion P2k + 1 ist durch folgende Reihe definiert:
    $P_{2k+1}(x)=(-1)^{k-1}\sum\limits_{i=1}^\infty 2(2i\pi )^{-2k-1}\sin (2\piix)$

    Der Fehlerformel kann man insbesondere entnehmen, daß für Integranden, deren ungerade Ableitungen an den beiden Endpunkten des Integrationsintervalls übereinstimmen, z. B. bei allen (b - a)-periodischen Integranden, die zusammengesetzte Trapezregel Tl besonders genaue Resultate liefert.
    Wendet man Tl auf Integranden

    $\matrix f\in C^{2k+1}\left[ a,b\right] & \text{mit} \\f^{(1)}(a)=f^{(1)}(b),...,f^{(2k-1)}(a)=f^{(2k-1)}(b) & \text{und} \\ \left|f^{(2k+1)}(x)\right| \leq M_{2k+1},\forall x\in \left[ a,b\right] & \text{an,dann gibt} \\ \left| T_if-If\right| \leq Ch^{2k+1},\quad h=\frac{b-a}l &\endmatrix $

    die Konvergenzordnung von Tlf --> If an.

    Beispiel (zusammengesetzte Trapezregel)
    Dieses Verfahren soll in Form eines interaktiven Beispiels gezeigt werden.

    7.4.4.3.4 IMT-Formeln:

    Die rasche Konvergenz der zusammengesetzten Trapezregel kann man auch für nichtperiodische Integrandenfunktionen erreichen, wenn man eine geeignete periodisierende Variablentransformation durchführt (Transformation von Integralen).
    Eine Subsitution, die der transformierten Funktion g die Eigenschaft g(i) (-1) = g(i) (1) = 0, j = 1, 2, ... ,
    gibt, ist die - geeignet skalierte - IMT-Transformation
    $\varphi (\bar x)=a+\frac{b-a}\gamma \int\limits_{-1}^xe^{\left(\frac{-c}{1-t^2}\right) }dt\quad $mit$\quad \gamma =\int\limits_{-1}^1e^{\left(\frac{-c}{1-t^2}\right) }dt$

    Die Parameter c kann aus R+ gewählt werden, wobei sich der Wert c = 4 praktisch bewährt hat. Mit der Transformation erhält man
    $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_{-1}^1f\left( \varphi \left( \bar x\right)\right) \varphi ^{\prime }(\bar x)d\bar x=\int\limits_{-1}^1g(\bar x)d\bar x$

    Drückt man Tlg in f aus, so erhält man Quadraturformeln QN mit N = l +1 Abszissen, die trotz ihrer Herkunft von der l-fach zusammengesetzten Trapezregel Tl einfach und nicht zusammengesetzt sind. Sie werden wegen Verwendung der IMT-Transformation als IMT-Formeln bezeichnet und haben folgende Vorteile:

    1. Auf Grund der speziellen Transformation g und des Nichtauftretens der Randabszissen in QN sind sie für Integranden mit (integrierbaren) Singularitäten and den Intervallgrenzen a und b gut geeignet. Dies gilt insbesondere auch für Integrale auf unendlichen Bereichen (a = - unendlich und/oder b = unendlich), die auf einen endlichen Bereich transformiert wurden, wodurch sich im allgemeinen Endpunktsingularitäten einstellen (Transformation von Integralen).
    2. Für eine Folge {QN} von Formeln mit N = 1, 2, 3, ... können bei der Auswertung von QN alle Funktionswerte der vorangegangenen Formeln der Folge wiederverwendet werden, was sich günstig auf die Effizienz auswirkt.
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