Analytische Operationen

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3.3.4 Analytische Operationen

Nicht selten in der Numerischen Datenverarbeitung spielen bei der Analyse und Auswertung mathematischer Modelle auch Operationen mit solchen Funktionen eine Rolle, die als Daten der Problemstellung auftreten. Bereits die Auswertung einer Funktion an einer vorgegebenen Stelle, stellt mathematisch gesehen, eine Operation an der als Datenelement betrachteten Funktion dar. Die Differentiation (ein- oder mehrfach) sowie die Integration (bestimmt oder unbestimmt) sind an einer Funktion klarer erkennbar als Operationen. Operationen an Funktionen können in den heute gängigen Programmiersprachen der Numerischen Datenverarbeitung nur dann programmiert werden, wenn sie auf Auswertungen der Funktionen zurückgeführt werden. Dies stellt jedoch eine wesentliche Einschränkung dar. Direkte Manipulationen an dem Ausdruck, der eine Funktion definiert, können in Computer-Algebrasystemen wie, MAPLE, MATHEMATICA, AXIOM und anderen, vorgenommen werden (Davenport et. al. [152]).

Beispiel (Mathematica) Im folgenden werden einige Möglichkeiten der Manipulation von Formelausdrücken anhand des Computer-Algebrasystems MATHEMATICA aufgezeigt.

Symbolisches Differenzieren: Mit MATHEMATICA kann man alle elementaren mathematischen Funktionen symbolisch ableiten. So erhält man z.B. mit

In [1]:= -3x^4 + 12x^2 + 25x^3 + 2

out[1]= 2 + 12 $x$ ² + 25 x ³ - 3 x⁴

in[2]:= D[%,x]

out[2]= 24 x + 75 $x$ ² - 12 $x$ ³

für das Polynom:

P(x)= -3 $x$ ⁴+ 25x³ + 12 x² + 2
die Ableitung p(x):= P':= P'(x)= -12x³+75x²+24x.

Symbolisches Integrieren: MATHEMATICA ermöglicht auch das symbolische Integrieren. Falls man keine Integrationsgrenzen vorgibt, wird zur gegebenen Funktion eine Stammfunktion ermittelt. So erhält man beim Integrieren der oben erhaltenen Funktion.

P(x)= -12x³+75x²+24x. die Funktion P(x)= -3 $x$ ⁴+ 25x³ + 12 x^{2 ,}

die eine Stammfunktion ist:

in [3] := Integrate[ 24 x + 75x^2 - 12x^3, x]

out[3]=12 $x$ ² +25 $x$ ³- 3 $x$ ⁴

Kann MATHEMATICA keinen gesclossenen Ausdruck für eine Stammfunktion der vorgegebenen Funktion finden, so wird die Eingabefunktion wieder in ihrer ursprünglichen Form ausgegeben.

Bestimmen von Nullstellen: Mit MATHEMATICA kann man die Nullstellen elementarer Funktionen bestimmen. Es muß dabei angegeben werden, nach welcher Variablen aaufgelöst werden soll. Die anderen Platzhalter werden dann als konstant angenommen.

In[4] := Solve[4 a x + 25 a x ^2 - 4 x ^3 == 0, x]

Lösen von Differentialgleichungen: Interessant und wichtig ist auch die Möglichkeit, gewöhnliche Differentialgleichungen symbolisch zu lösen. So findet MATHEMATICA z.B. als Lösung für die Differentialgleichung y'(x) = ay(x) + 4x die Funktion.

Werden anfangsbedingungen vom Benutzer angegeben, so bestimmt MATHEMATICA auch den passenden Wert für die Konstante C_1.

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