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6.7.5 Approximations- und Konvergenzeigenschaften

Bei numerischen Approximationsproblemen werden Darstellungsfunktionen als Lösung gesucht, die einer vorgegebenen Fehlertoleranz genügen. Bei der Polynominterpolation, die in diesem Abschnitt zur Approximation verwendet wird, treten in diesem Zusammenhang unter anderem folgende Fragen auf:

• Frage: Was läß sich über den Fehlerverlauf f(x)-P_d(x) eines Interpolationspolynoms P_d im Approximationsintervall [a,b] aussagen?
  Antwort: Wenn die Fehlerfunktion der gestellten Toleranz genügt, wenn also z.B. die Ungleichung || P_d-f ||< r gilt , dann ist P_d eine Lösung des Approximationsproblems. Ist dies nicht der Fall, so stellen sich weitere Fragen:
• Frage: Kann man überhaupt durch globales oder lokales "Verdichten" der Interpolationsknoten (Erhöhen der Parameteranzahl der Approximationsfunktion) die geforderte Genaugikeit erreichen? Mit anderen Worten:
  
  • Gibt es eine Folge von Interpolationspolynom {P_d}, die mit auf einem festen Approximationsintervall bezüglich jener Distanzfunktion (z.B. ||P_d-f || ), die definierender Bestandteil des Approximationsproblems ist, gegen die zu approximierende Funktion f konvergiert?
  • Konvergiert eine Folge stückweise Polynome gegen f?
  Antwort: Es wird sich herausstellen, daß man sowohl (a) als auch (b) unter allgemeinen Voraussetzungen bejahen kann. Vom Gesichtspunkt der Effizienz her gesehen, erhebt sich schließlich folgende Frage:
• Frage: Wie wählt man die Interpolationsknoten (bzw. Teilintervalle bei stückweiser Interpolation), um den geringsten Rechenaufwand bzw. die einfachste Approximationsfunktion mit der geringsten Parameteranzahl (nach dem Minimalitätsprinzip) zu erhalten?

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