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6.7.1 Univariate Polynome

Funktionen, die durch Formeln definiert sind, in denen nur endlich viele algebraische Operationen mit der unabhängigen Variablen vorkommen, bezeichnet man als algebraische elementare Funktionen. Diese sind als Approximationsfunktionen (Modellfunktionen) am Computer besonders gut geeignet. Vor allem die Polynome in einer unabhängigen Variablen - die univariaten Polynome - spielen dabei eine zentrale Rolle.

Definition 6.7.1 (Univariates Polynom):

Eine Funktion $P_d:\R\rightarrow\R$ mit

$P_d(x;a_0,\ldots,a_d) := a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_dx^d$ (Formel 9.6)

ist ein (reeles) Polynom in einer unabhängigen Variablen. $a_0$, $a_1$,\dots, $a_d\in\R$ sind die Koeffizienten des Polynoms, dessen absolutes Glied. Falls $a_d \ne 0$ ist, heißt Grad des Polynoms und Anfangs- oder höchster Koeffizeint. Ist , so heißt formaler Grad von . Polynome vom Grad nennt man linear, quadratisch bzw. kubisch.

Der Funktionsraum $\P$ aller Polynome (beliebigen Grades) besitzt z.B. die Basis der Monome

$B = \{1,x,x^2,x^3, \, \ldots \}$

und ist daher unendlich-dimensional; der Raum $\P _d$ aller Polynome vom Maximalgrad d besitzt z.B. die Basis

$B_d = \{1,x,x^2,x^3, \, \ldots, x^d\}$ (Formel 9.7)

und ist $(d\!+\!1)$ -dimensional. Die Monombasis (9.7) ist nur eine von unendlich vielen Basen des Vektorraums $\P _d$ . Weitere, speziell für numerisch-algorithmische Anwendungen wichtige Basen bilden die Lagrange-, die Bernstein- und vor allem die Tschebyscheff-Polynome. Sie werden im folgenden behandelt.

Eine spezielle Polynom-Darstellungsform ist die Linearfaktorenzerlegung

$P_d(x) = a(x-r_1)(x-r_2) \cdots (x-r_d),$

wobei $r_1,r_2,\ldots,r_d$ die Nullstellen des Polynoms $P_d$ sind. Diese Darstellung beruht nicht auf einer Linearkombination von Basisfunktionen des Raumes $\P_ {d}$ .

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