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[Norbert Federa]

6.2.3 Diskrete Approximation

 Definition

Diskrete Approximation ist der Vorgang zur Gewinnung analytischer Daten durch Homogenisierung von diskreten Daten. Daher wird auch der Begriff "Datenapproximation" oft als Synonym für diskrete Approximation verwendet.

Ausgangsdaten

Bei der diskreten Approximation (Datenapproximation) wird davon ausgegangen, daß diskrete Daten über jenes kontinuierliche Phänomen, das modelliert werden soll, bereits vorliegen. Das zentrale Problem der Datenapproximation ist dementsprechend die Homogenisierung gegebener diskreter Daten.

Man geht hier von einer vorliegenden (nicht mehr beeinflußbaren) endlichen Menge von Datenpunkten (x1,y1), (x2,y2), ..., (xk,yk) aus:

$$(x_{i},y_i)\in \R^{n}\times\R, \quad i = 1, 2, \ldots, k.$$

Für diese Daten wird aus einer Funktionenklasse

$${\cal G}_{N}=\{g(x;c_1,c_2,\dots,c_N)\,:\,c_1,c_2,\dots,c_N\in\R\}$$

eine Approximationsfunktion

$$g^{*}: B \subset \R^{n} \to \R$$

gesucht, deren (noch genauer zu definierender) Abstand von den gegebenen Daten minimal ist.

Abstandsminimierung

Die Funktionen der Menge GN sind durch N Parameter charakterisiert. Um diese Parameter aus den Datenpunkten eindeutig bestimmen zu können, dürfen nicht weniger Daten als Parameter vorhanden sein: es muß N > k gelten.

Das Prinzip der Abstandsminimierung, nachdem die Funktion $g^{*}\in{\cal G}_N$ ermittelt wird, nennt man optimale Anpassung oder Bestapproximation. Die Bestimmung einer bestapproximierenden Funktion g* läuft auf eine Minimierungsaufgabe zur Ermittlung passender Parameterwerte c1, c2, ..., cN hinaus. Als Abstandsmaß D dient meist die Norm des Residuenvektors $\Delta_kg\!-\!y$ von $g\in{\cal G}_N$:

$$ D({\Delta}_{k} g,y) := \|{\Delta}_{k} g - y\| = \left\| \left( \begin{array}{c} g(x_{1};c_{1},c_{2},\ldots,c_{N}) \\ g(x_{2};c_{1},c_{2},\ldots,c_{N}) \\ \vdots \\ g(x_{k};c_{1},c_{2},\ldots,c_{N}) \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{k} \end{array} \right) \right\|. $$

$\Delta_k g := (g(x_1),g(x_2),\ldots,g(x_k))^{\top} \!$ bezeichnet dabei die an den Stellen x1, x2, ..., xk diskretisierte Funktion g. Die gesuchte Approximationsfunktion g* bzw. deren Parametervektor ergibt sich als Lösung der Minimierungsaufgabe

$$D (\Delta_k g^{*}, y) = \min \, \{ D (\Delta_k g, y): g \in {\cal G}_{N} \}$$.

Interpolation als Sonderfall

Von den Genauigkeitsanforderungen, die Teil der Spezifikation des Approximationsproblems ist, hängt die Wahl der Parameteranzahl N ab. Man wird im allgemeinen mit einer niedrigen Parameteranzahl Nmin beginnen und diese solange erhöhen, bis man die geforderte Approximationsgenauigkeit erreicht hat. Wenn man die Parameteranzahl N bis zur Anzahl der Datenpunkte erhöht und GN enstrechend gewählt ist (wenn GN z.B. alle Polynome vom Grad d <= N enthält), ergibt sich als Spezialfall des Approximationsproblems die Interpolation, wo die größtmögliche Annäherung an die gegebenen diskreten Daten - aber nicht notwendigerweise an das zu modellierende kontinuierliche Phänomen - erreicht wird. Die Werte der bestapproximierenden Funktion g* an den Stellen x1, x2, ..., xk stimmen im Fall der Interpolation mit den vorgegebenen Datenwerten y1, y2, ..., yk überein:

$$ \left( \begin{array}{c} g^{*} (x_{1};c_{1},c_{2},\ldots,c_{k}) \\ g^{*} (x_{2};c_{1},c_{2},\ldots,c_{k}) \\ \vdots \\ g^{*} (x_{k};c_{1},c_{2},\ldots,c_{k}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{k} \end{array} \right), \qquad \mbox{also} \quad D (\Delta_k g^{*} ,y) = \| \Delta_k g - y \| = 0. $$

Die Minimierungsaufgabe geht im Spezialfall der Interpolation in die Lösung eines Systems von N = k linearen oder nichtlinearen Gleichungen mit den Unbekannten c1, c2, ..., ck über.

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