6. Exponentialsplines

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Anwendungen von Polynomsubsplines

Exponentialsplines

Um das Überschwingen der Splinefunktionen zu verringern, kann man z.B. das mathematische Modell des Spline-Lineals mit zusätzlichen Kräften und mechanischen Spannungen in eine optisch gefälligere Form bringen. Als Kompromißlösung zwischen den zu stark oszillierenden und kubischen Splinefunktionen und den "eckigen" Poligonzügen kann man z.B. jene Interpolationsfunktionen suchen, für die das Funktional

$\dint\limits_a^b\left[ g^{\prime \prime }\left( x\right) \right] ^2dx+\alpha ^2\dint\limits_a^b\left[ g^{\prime \prime }\left( x\right) \right] ^2dx$
minimal wird. Diese auf Schweikert zurückgehende Interpolationsfunktion ist in jedem Teilintervall [x_i,x_i+1) durch

$g\left( x\right) =a_i+b_ix+c_i\sinh \alpha x+d_i\cosh \alpha x$
gegeben und wird als spline under tension ("gespannte" Splinefunktion, Exponentialspline) bezeichnet. Diese Interpolationsfunktion hat mehrere Nachteile:

Aufwendige Auswertung von g(x); Exponentialfunktionen werden benötigt;
Stabiltitätsschwierigkeiten bei der Berechnung der Koeffizienten; es sind spezielle Vorkehrungen zu treffen;
für $\alpha \rightarrow \infty$ nähert sich die Interpolationsfunktion einem Polygonzug. Wegen der zweimal stetigen Differenzierbarkeit treten daher in der Nähe der Knotenpunkte starke Krümmungen auf, die bei der Approximation durch Polygonzüge - wie sie z.B. für die graphische Darstellung benötigt werden - Schwierigkeiten machen.

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