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Trotz "kleinen" Datenänderungen können starke Abweichungen
zwischen
und
auftreten, wenn
die Konditionszahl des mathematischen Problems "groß" ist
(
).
Es gibt zwei Arten von Problemen bezüglich deren Konditionszahlen.
Schlecht konditionierte Probleme : .
(Konditionszahl ist sehr groß)
Gut konditionirte Probleme : .
(Konditionszahl ist klein)
Die Grenze zwieschen gut und schlecht konditionierten Problemen: die Kondition muß stets in Relation zur gewünschten Gesamtgenauigkeit gesehen werden.
Eine Genauigkeitsforderung für den Gesamtfehlereffekt
mit einer vom Anwender spezifierten Toleranz
wird man einhalten können, wenn man gewährleisten kann, daß
bzw., was eine stärkere Bedingung ist,
gilt. Bei bekannter Größe des Datenfehlers
und gegebener Konditionszahl
wird man das problem als schlecht konditioniert bezeichnen, sobald
oder auch nur
gilt, da man in diesem Fall selbst durch die Wahl von extrem kleinen Werten
(was meist gleichbedeutend
mit einem extrem hohen Rechenaufwand ist) nicht mehr ohne weiteres gewährleisten
kann, daß
die
geforderte Genauigkeit besitzt.
Man muß den Toleranzparameter
des numerischen Problems nicht viel kleiner als
zu wählen, sonst in solchen Fällen wird das Gesamtgenauigkeitsniveau
fast ausschließlich durch den Effekt von Modell- und Datenfehlern
bestimmt wird. Der hohe Rechenaufwand, der zum Erzielen kleiner Fehler
der numerischen Lösung
benötigt wird, bringt bei schlecht konditionierten Problemen keine
signifikante Verbesserung des Gesamtfehlereffekts.
Als Zusammenfassung und Ergebnis: Erst die Kentnis der Konditionszahl
des mathematischen Problems ermöglicht zusammen mit der vom Anwender
gewünschten Gesamtgenauigkeit
und Information über die Größe
des Datenfehlers eine sinnvolle Festlegung der Fehlertoleranz
des numerischen Problems. Man beachte, daß die Toleranzparameter,
die als Eingangsgrößen numerischer Programme auftreten, sich
stets auf den Fehler
beziehen und somit die Rolle von
spielen. Das liegt natürlich daran, daß ein solches Programm
nur versuchen kann, den Grad der Abweichung eines vorläufigen Ergebnisses
vom idealen mathematischen Resultat zu beeinflussen. Seine eigenen Abweichungen
oder jene des zugrundliegenden Modells von der Realität können
nur durch einen "unabhängigen" Beobachter beurteilt werden.
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