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Berechnung mit Taschenrechner (HP48SX)
Formel für e = (1+1/n)n mit n
.
Es ergeben sich folgende Werte (beispielhaft) für e:
n | angenäherter Wert | n | angenäherter Wert |
1 | 2 | 1.40E+09 | 2.70202096790 |
2 | 2.25 | 1.50E+09 | 2.73190727191 |
3 | 2.37037037035 | 1.60E+09 | 2.69662232652 |
... | ... | ... | ... |
1E+03 | 2.71692393224 | 1.00E+11 | 2.71828182845 |
1E+04 | 2.71814592683 | 1.10E+11 | 3.00416602393 |
1E+05 | 2.71826823717 | 1.90E+11 | 6.68589444222 |
... | ... | 1.999E+11 | 7.38167073605 |
2E+06 | 2.71828114889 | 2E+11 | 1 |
2.60E+06 | 2.71831392527 | 1E+12 | 1 |
2.70E+06 | 2.71827860679 | ... | ... |
... | ... | 9.99999999999E+499 | 1 |
Die Näherungsrechnung zeigt, daß sich die Werte mit wachsender Amplitude um e oszilieren und bei n = 1.999E+11 einen Maximalwert von
7.38167073605 erreicht.
Bei n = 2E+11 geht der Ausdruck (1/n) auf 0, das heißt, das Ergebnis wird zu
1 und bleibt auf 1, bis zur äußersten Eingabegrenze
von 9.99999999999E+499.
Um die Schwankungsbreite der errechneten Werte zu demonstrieren ist die folgende Grafik in Abschnitte A bis F gegliedert.
Bereich | n |
A | 1 bis 5 |
B | 1.00E+03 bis 1.00E+06 |
C | 2.00E+06 bis 3.00E+06 |
D | 7.00E+06 bis 8.00E+06 |
E | 1.00E+09 bis 2.00E+09 |
F | 1.00E+11 bis 2.00E+11 |
In den folgenden Detailansichten sind die Bereiche C und D, und zum Vergleich D und E entsprechend vergrößert dargestellt.
Man beachte die Größe des Bereiches D in der obigen und nachstehenden Grafik, um den progressiven Anstieg von C auf E abschätzen zu können.
Die Details zeigen deutlich die progressive Zunahme der absoluten Schwankung.
Löst man die Zacken durch weitere Vergrößerung (= Verringerung der Schritte für n) weiter auf, so ergeben sich neuerliche Zacken.
Begründung: Der Taschenrechner arbeitet mit der Basis 10, daher ist die Abnahme der Zahlendichte innerhalb eines Intervalls wesentlich größer, als bei einem Binärsystem.
Die sich ergebenden Zwischenzacken rühren daher, daß die Zunahme von n mit jeweils festen Werten gerechnet wurde.
Wollte man dies vermeiden, müßte man n in der gleichen Progression anwachsen lassen, die den Zackenabstand entsprechen.
Hervorzuheben ist, daß die Basis (1+1/n) bei zunehmenden n kontinuierlich abnimmt. Das sprunghafte Ergebnis beruht auf der Potenzierung
mit zunehmenden n.
Damit verhält sich der Taschenrechner umgekehrt zu den anderen untersuchten Systemen (Mathematica und Turbo C), bei denen die Basis in Stufen abnimmt, die Potenzierung hingegen kontinuierlich ansteigende Ergebnisse liefert.
Der Taschenrechner verwendet kein genormtes Format.
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Michaela Schuster