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Berechnung mit der Programmiersprache C
Formel für e = (1+1/n)n mit n
.
Die Berechnung mit C, einer Programmiersprache,
die genormte Formate (einfache/doppelte Genauigkeit) verwendet,
bringt folgende Ergebnisse.
Berechnung mit einfacher Genauigkeit:
IF (2, 24, -125, 128, true)
n | angenäherter Wert | n | angenäherter Wert |
1 | 2 | 5.590E+06 | 3.79149317741984 |
2 | 2.25 | 5.595E+06 | 1.94833672046661 |
3 | 2.37037062644958 | ... | ... |
... | ... | 8.388608E+06 | 2.71828174591064453 |
1.860E+06 | 3.03025460243225 | ... | ... |
1.865E+06 | 2.43342947959899 | ... | ... |
... | ... | 1.6777215E+07 | 7.3895429840087891 |
2.395E+06 | 3.13310718536376 | 1.6777216E+07 | 1 |
2.400E+06 | 2.35916352272033 | ... | ... |
... | ... | 1.678E+07 | 1 |
3.355E+06 | 3.31959128379821 | ... | ... |
3.360E+06 | 2.22796034812927 | ... | ... |
Die obigen Werte stellen lediglich einen Auszug aus der sägezahnartig
verlaufenden Entwicklung der Resultate dar.
Am deutlichsten ergibt sich der Verlauf aus der nachstehenden Grafik.
Dabei ist zu beachten, daß die Länge der aufsteigenden Flanken von Zacke zu
Zacke wächst, und bei n = 1.677215E+07 sein Maximum erreicht,
danach auf 1 fällt und dort verbleibt.
Der Wert für (1+1/n) wird auf Grund der Rundungsarithmetik
in bestimmten Bereichen (von Zacke zu Zacke) festgehalten und
ergibt die, in der folgenden Grafik logarithmisch dargestellten
Werte.
Der Exponent n hingegen wächst kontinuierlich und
ergibt daher die aufsteigenden Flanken.
Der Extremfall liegt zwischen n = 5.595E+06 und n = 1.6777215E+07.
Innerhalb dieses Bereiches bleibt der Wert für die Basis
(1+1/n) mit 1.0000001192092800000 gleich, der Exponent steigt.
Damit steigt auch der für e errechnete Wert von 1.94833672046661
auf 7.38954298400878 an. Innerhalb dieses Intervalls findet sich daher
nur ein einziger kalkulierter Wert, der sich den wahren Wert von
e nähert, und zwar bei n = 8388608, alle übrigen
Werte liegen darunter oder darüber, sind also falsch.
An dieser Stelle soll auch auf den absoluten und relativen Fehler eingegangen werden. Der absolute Fehler errechnet sich aus der Differenz:
Näherungswert minus exakter Wert.
absoluter Fehler = Ergebnis der Näherungsrechnung - e
Die graphische Darstellung des absoluten Fehlers zeigt erwartungsgemäß einen ähnlichen Verlauf wie die Darstellung der errechneten Werte selbst. Lediglich der Nullpunkt der y-Achse ist um e verschoben.
Der relative Fehler errechnet sich aus dem aboluten Fehler dividiert durch die Bezugsgröße.
Definitionsgemäß nehmen wir das erwartete Ergebnis, also e, als Bezugsgröße an. Siehe dazu auch 1.2.3 Genauigkeit der Ergebnisse
Damit wird der Wert des absoluten Fehlers durch 2,7182818284590... dividiert. Daraus ergibt sich eine Kurve von der gleichen Form wie die des absoluten Fehlers, allerdings im entsprechend verkleinerten Ausmaß
Da es sich um eine Näherungsrechnung handelt, die sich bei steigendem n den Wert für e asymptotisch nähern soll, liegt es nahe, n als Bezugsgröße heranzuziehen. Mit steigendem n müßte sich der asolute und relative Fehler verringern. Das trifft aber nicht zu. Um das zu verdeutlichen nehmen wir als Bezugsgröße n an.
Die folgende Grafik zeigt den absoluten Fehler / n:
Der Wert des absoluten Fehlers/n ist sehr klein und kann aus Darstellungsgründen nur im lograithmischen Maßstab gezeigt werden.
Da im logarithmischen Maßstab negative Werte nicht darstellbar sind, werden die Minusbeträge des absoluten Fehlers ausgelassen, d.h. es entstehen Lücken. Die positiven Werte des relativen Fehlers ergeben einen Verlauf entsprechend der Formel: (Bn-e) / n
Dabei ist B = (1+1/n). Dieser Wert ändert sich wie oben dargestellt, stufenförmig.
Berechnung mit doppelter Genauigkeit:
Die Berechnung mit doppelter Genauigkeit - IF (2, 53, -1021, 1024, true) - ergibt ein ähnliches
Bild, wie aus der nachstehenden Grafik erkennbar.
Allerdings ist der Zahlenbereich wesentlich größer,
so daß die vorletzte Zacke erst bei n = 3.005E+15 und die letzte Zacke bei n = 9.0028E+15 auftritt.
Bei Vergleich der Diagramme einfache/doppelte Genauigkeit muß
der Maßstab der x-Achse berücksichtigt werden.
Der Verlauf des Wertes für (1+1/n) ist ähnlich abgestuft
wie bei einfacher Genauigkeit, nur entsprechend gedehnt.
Das gleiche gilt für den absoluten und relativen Fehler.
Im übrigen verläuft die Kurve gleich der von Mathematica mit Maschinengenauigkeit errechneten (16 Stellen).
Der Unterschied besteht darin, daß mit Überschreitung der Maximalzahl bei Mathematica der errechnet Wert auf e springt, bei C hingegen Overflow angezeigt wird.
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Michaela Schuster