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2.4.7. Schlecht Konditionierte Probleme

Trotz "kleinen" Datenänderungen können starke Abweichungen zwischen und auftreten, wenn die Konditionszahl des mathematischen Problems "groß" ist (). Es gibt zwei Arten von Problemen bezüglich deren Konditionszahlen.

Schlecht konditionierte Probleme : . (Konditionszahl ist sehr groß)

Gut konditionirte Probleme : . (Konditionszahl ist klein)

Die Grenze zwieschen gut und schlecht konditionierten Problemen: die Kondition muß stets in Relation zur gewünschten Gesamtgenauigkeit gesehen werden.

Eine Genauigkeitsforderung für den Gesamtfehlereffekt

mit einer vom Anwender spezifierten Toleranz wird man einhalten können, wenn man gewährleisten kann, daß

bzw., was eine stärkere Bedingung ist,

gilt. Bei bekannter Größe des Datenfehlers und gegebener Konditionszahl wird man das problem als schlecht konditioniert bezeichnen, sobald

oder auch nur gilt, da man in diesem Fall selbst durch die Wahl von extrem kleinen Werten (was meist gleichbedeutend mit einem extrem hohen Rechenaufwand ist) nicht mehr ohne weiteres gewährleisten kann, daß die geforderte Genauigkeit besitzt.

Man muß den Toleranzparameter des numerischen Problems nicht viel kleiner als

zu wählen, sonst in solchen Fällen wird das Gesamtgenauigkeitsniveau fast ausschließlich durch den Effekt von Modell- und Datenfehlern bestimmt wird. Der hohe Rechenaufwand, der zum Erzielen kleiner Fehler der numerischen Lösung benötigt wird, bringt bei schlecht konditionierten Problemen keine signifikante Verbesserung des Gesamtfehlereffekts.

Als Zusammenfassung und Ergebnis: Erst die Kentnis der Konditionszahl des mathematischen Problems ermöglicht zusammen mit der vom Anwender gewünschten Gesamtgenauigkeit und Information über die Größe des Datenfehlers eine sinnvolle Festlegung der Fehlertoleranz des numerischen Problems. Man beachte, daß die Toleranzparameter, die als Eingangsgrößen numerischer Programme auftreten, sich stets auf den Fehler beziehen und somit die Rolle von spielen. Das liegt natürlich daran, daß ein solches Programm nur versuchen kann, den Grad der Abweichung eines vorläufigen Ergebnisses vom idealen mathematischen Resultat zu beeinflussen. Seine eigenen Abweichungen oder jene des zugrundliegenden Modells von der Realität können nur durch einen "unabhängigen" Beobachter beurteilt werden.


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