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Kapitelübersicht 7.5.1 Allgemeine Konstruktionsprinzipien

  • 7.5.1.1. Konstruktion durch Approximation
  • 7.5.1.2. Konstruktion durch Transformation
  • 7.5.1.3. Konstruktion durch Iteration
  • 7.5.1.4. Konstruktion durch Zerlegung

  • 7.5.1 Allgemeine Konstruktionsprinzipien

    Riemann-Summen

    Multivariate Riemann-Summe:

    Für jede Auswahl von N Punkten kann man multivariate Riemann-Summen bilden.

    Besitzen alle multivariaten Riemann-Summen einen gemeinsamen Grenzwert,dann ist

    $c_Bf$

    ein Riemann-Integral.Das Riemann-Integral f über einen beschränkten IntegrationsbereichB definiert man über den Quader
    $[a_1,b_1]x[a_2,b_2]x...x[a_n,b_n]$

    wobei cB die charakteristisch Funktion im Bereich B bezeichnet:

    $\[c_b(x) &= \left\{ \begin{array} {r@{\quad:\quad} 1} 1 {\rem für }x \in B  \\ 0 {\rem sonst.} \end{array} \right.\]$

    7.5.1.1. Konstruktion durch Approximation

    beruht auf Fehlerabschätzung. Jede Approximation g, die


    $|| g-f || \un \le \frac {\varepsilon}{{\rem vol} (B)}$

    erfüllt, ist für die Lösung des NumerischenProblems geeignet. Polynome sind die einzigen Funktionsklassen, die tatsächlich zur Konstruktion von Multivariaten Integrationsformeln nach dem Approximationsprinzip herangezogen werden.

    7.5.1.2. Konstruktion durch Transformation

    Transformationsregel zur Modifikation von Kubaturformeln für Nicht-Standardbereiche. Es soll gezeigt werden, daß dieTransformationsregel (Link Kap. 7.13) auch zur Modifikation von Kubaturformelnfür Nicht-Standardbereiche herangezogen werden kann. KubaturformelnQN müssen transformiert werden, um auf einem Bereich B anderer Gestalt anwendbar zu sein. Eine Kubaturformel :

    $\int _\bar(B) | {\rem det} J(\bar(x))| \bar\(omega) \bar((x)) \bar(f) \bar((x)) d\bar((x)) = \sum_{i-2}^{N} \bar(c)_i | {\rem det} J \bar((x_i))| \bar(f)\bar((x_i))+ \bar(E) (| {\rem det} J| \bar(f))$

    geht durch Transformation über in die modifizierte Formel :

    $\int_B \omega(x)f(x)dx = \sum^N_{i=1} c_i f(x_i) + E(f) $

    7.5.1.3. Konstruktion durch Iteration

    Produktformel.

    Eine charakteristische Eigenschaft von Produktformeln


    $ f(x^1,x^2,...,x^K) := f_1(x^2)...f_k(x^k),   x^\inB_k, k=1,2,...,K $

    ist, daß dieAnzahl ihrer Abszissen das Produkt N= N1*N2*...* Nk die Abszissenzahl der einzelnen Formeln ist.

    7.5.1.4. Konstruktion durch Zerlegung

    Wenn der Integrationsbereich zu kompliziert ist. Die Zerlegung einesIntegrationsbereiches B in paarweise disjunkte Teilbereiche verwendet man zur Vorbereitung von multivariaten Integrationsproblemen. Aus Integrationsformeln:

    $Q^l_{N_l}f 0 }sum_{i_l=1}^{N_l}c^l_{i_l},  l=1,2,...,L $

    für Teilintegrale


    $\int_{B_i}f(x)dx = Q^l_{N_l} + E^l(f),   l=1,2,...,L $

    kann man eine zusammengesetzte Integrationsformel für Ifdefinieren:


    $(Q^1_{N_1 } + Q^2{N_2} +...+ Q^L_{N_L} := \sum_{l=1}^L \sum_{i_l=1}^{N_l} c^l_{i_l}f(x^l_{i_l}) $

    Ohne zusätzliche Annahmen über B und die Integrationsformeln sind keine weitreichenden Aussagen über den Fehler der zusammengesetzten multivariaten Formel möglich. Asymptotische Fehlerentwicklungen können nur unter ähnlichen Bedingungen wie bei univariaten zusammengesetzten Formeln ( wie z.B. wenn das Intervall durch äquidistante Teilungspunktezerlegt wird und die gleiche Quadraturformel auf jedes der resultierendenTeilintervalle angewendet wird ), abgeleitet werden.

    Der Aufwand für die Auswertung einer Integrationsformel wird durch die Anzahl der benötigten f-Auswertungen, d.h. durch die Anzahl der verschiedenen Integrationabszissen, charakterisiert. Hält man k konstant,so wächst die Abszissenanzahl der Formelfamilie {kn x QN}exponentiell mit der Dimension n .


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