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Abschätzung der relativen Konditionszahlen linearer Probleme
Im folgenden werden relative Konditionszahlen linearerinverser
Probleme (z.B. linearer Gleichungssysteme) angegeben. Für lineare Operator
und
gilt für eine Menge B
die eine nichtleere offene Kugel
um einen Punkt
enthält:
,
und
d.h., die Lipschitz-Normen gehen in diesem Fall in die Abbildungsnormen über
die Abhängigkeit von B entfält, und man erhä in einfacher Weise relative
Konditionsabschätzungen.
Auswirkungen der Störungen von y
nimmt man an, daß nur y gestört ist ( F bleibt
ungestört:
= 0); so erhält man
und zusammen mit
schließlich
.
Auswirkung der Störungen von F
Wenn nur Störungen der Funktion F berücksichtigt werden(
y bleibt ungestört, sodaß
= 0 gilt)
erhält man
=
=
und somit
Aus beiden Abschätzungen, d.h. bei beiden Arten der Störung eines linearen inversen Problems, erhält man
als Konditionszahl, wobei aber
der relative Fehler auf die gestörte Lösung
bezogen ist. Die analoge
Formel, bei der der relative Fehler auf x bezogen ist, folgt
mit
= 0:
Relative Konditionsabschätzungen sind auch im nichtlinearen Fall möglich
, falls geeignete Abschätzungen der Form
und
vorliegen, falls sich also die Funktionen F und
im betrachteten Gebiet B "ähnlich" linearen Abbildungen verhalten
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