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Normen für unendlich-dimensionale Räume

Will man alle Werte einer Funktion (eines stetigen Signals) in die Norm einbeziehen, um z.B. den Abstand einer Modellfunktion $g: [a,b] \to \R$ von dem zu modellierenden kontinuierlichen Phänomen, der Funktion $f: [a,b] \to \R$ , zu bewerten, so muß man die Summation in ( 1.12 ) durch eine Integration oder (im Grenzfall $p\to\infty$ ) eine Extremwertbestimmung über dem ganzen Intervall [a,b] ersetzen und gelangt so zu den auf ${\cal L}^p[a,b]$ definierten $L_p$ -Normen und den durch diese Normen definierten Abstandsfunktionen:

\[
D_{p}(f,g) := \|f - g\|_{p} :=                                  
   \left(\int\limits_{a}^{b} |f(t) - g(t)|^{p} dt \right)^{1/p},
          \qquad p \in [1,\infty). \\                           
\]

Als Grenzfall für $p\to\infty$ erhält man wieder die Maximumnorm

\[
   D_{\infty}(f,g) := \|f-g\|_{\infty} \, := \,
   \max \, \{ |f(x)-g(x)|: x \in [a,b] \}.     
\]

Die Maximumnorm ist - im Gegensatz zu ihrer unbedeutenden Rolle bei der diskreten Approximation - die wichtigste Norm bei der Funktionsapproximation.

Die $L_p$ -Normen sind in erster Linie für theoretische Untersuchungen von Bedeutung. Die numerische Berechnung einer $L_p$ -Norm müßte sich auf Verfahren der numerischen Integration (bzw. Extremwertbestimmung im Fall der Maximumnorm) stützen, würde somit wieder auf den diskreten Fall der $l_p$ -Normen zurückführen.


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