Schwarzinger Rainer

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Ordinatentransformation

Bei manchen Problemen kann durch eine Ordinatentransformation $T: \R \to \R$ eine einfachere und fallweise bessere Lösung erreicht werden. Wenn man statt

\[
   D (\Delta_k g^{*}, y) \,=\, \min \{ D (\Delta_k g, y) =             
      \sum \limits_{i=1}^{k} \, [g(x_i;c) - y_i]^2: g \in {\cal G}_N \}
\]

das transformierte Problem

\[
   D (\Delta_k T (g^{*}), T (y)) = \min \{ D (\Delta_k T (g), T (y)) =       
      \sum \limits_{i=1}^{k} \, [T(g(x_i;c)) - T(y_i)]^2: g \in {\cal G}_N \}
\]

löst, wird sich dabei jedoch im allgemeinen ein anderer Lösungsparametervektor $\overline{c}$ ergeben. Nur wenn man durch eine geeignete Gewichtung annähernde Gleichheit

\begin{equation}
\label{e:ordtransgew}                                              
   \sum \limits_{i=1}^{k} \, [g(x_i;c) - y_i]^2 \quad \approx \quad
   \sum \limits_{i=1}^{k} w_i^2 \, [T(g(x_i;c)) - T(y_i)]^2        
\end{equation}

erreicht, werden die beiden Lösungen näherungsweise übereinstimmen. Da sich nach einer Taylor-Entwicklung

\[
   \sum \limits_{i=1}^{k} \, [T(g(x_i;c)) - T(y_i)]^2 \quad \approx \quad
      \sum \limits_{i=1}^{k} \, [T'(y_i) (g(x_i;c) - y_i)]^2             
\]

ergibt, kann die Beziehung (1.14) durch die Wahl $w_i := 1/T'(y_i)$ näherungsweise hergestellt werden.

Beispiel: Exponentialausgleich


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