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Berechnung mit Taschenrechner (HP48SX)


Formel für e = (1+1/n)n mit n$\gegen infty$.


Es ergeben sich folgende Werte (beispielhaft) für e:


n angenäherter
Wert
n angenäherter
Wert
1 2 1.40E+09 2.70202096790
2 2.25 1.50E+09 2.73190727191
3 2.37037037035 1.60E+09 2.69662232652
...... ... ...
1E+03 2.71692393224 1.00E+11 2.71828182845
1E+04 2.71814592683 1.10E+11 3.00416602393
1E+05 2.71826823717 1.90E+11 6.68589444222
... ... 1.999E+11 7.38167073605
2E+06 2.71828114889 2E+11 1
2.60E+06 2.71831392527 1E+12 1
2.70E+06 2.71827860679 ... ...
... ... 9.99999999999E+499 1



Die Näherungsrechnung zeigt, daß sich die Werte mit wachsender Amplitude um e oszilieren und bei n = 1.999E+11 einen Maximalwert von 7.38167073605 erreicht. Bei n = 2E+11 geht der Ausdruck (1/n) auf 0, das heißt, das Ergebnis wird zu 1 und bleibt auf 1, bis zur äußersten Eingabegrenze von 9.99999999999E+499.

Um die Schwankungsbreite der errechneten Werte zu demonstrieren ist die folgende Grafik in Abschnitte A bis F gegliedert.


Bereich n
A 1 bis 5
B 1.00E+03 bis 1.00E+06
C 2.00E+06 bis 3.00E+06
D 7.00E+06 bis 8.00E+06
E 1.00E+09 bis 2.00E+09
F 1.00E+11 bis 2.00E+11




GrafikTaschenrechner Bereich A bis F


In den folgenden Detailansichten sind die Bereiche C und D, und zum Vergleich D und E entsprechend vergrößert dargestellt.



Detail Bereich C bis D


Man beachte die Größe des Bereiches D in der obigen und nachstehenden Grafik, um den progressiven Anstieg von C auf E abschätzen zu können.



Detail Bereich D bis E


Die Details zeigen deutlich die progressive Zunahme der absoluten Schwankung.


Löst man die Zacken durch weitere Vergrößerung (= Verringerung der Schritte für n) weiter auf, so ergeben sich neuerliche Zacken.

Begründung: Der Taschenrechner arbeitet mit der Basis 10, daher ist die Abnahme der Zahlendichte innerhalb eines Intervalls wesentlich größer, als bei einem Binärsystem.


Hervorzuheben ist, daß die Basis (1+1/n) bei zunehmenden n kontinuierlich abnimmt. Das sprunghafte Ergebnis beruht auf der Potenzierung mit zunehmenden n.

Damit verhält sich der Taschenrechner umgekehrt zu den anderen untersuchten Systemen (Mathematica und Turbo C), bei denen die Basis in Stufen abnimmt, die Potenzierung hingegen kontinuierlich ansteigende Ergebnisse liefert.


Der Taschenrechner verwendet kein genormtes Format.



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Michaela Schuster