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  • Experimentelle Konditionsuntersuchung
  • Bei komplexeren Aufgabenstellungen ist man in der Praxis oft nicht imstande, für einen konkreten Fall Konditionszahlen zu ermitteln. Da es jedoch für die Beurteilung der Genauigkeit einer Lösung unumgänglich ist, über die Datenfehlerempfindlichkeit Bescheid zu wissen, muß man sich diese Kenntnis auf einem anderen Weg verschaffen: durch Simulation der Störungen.


    Man ersetzt dabei den Vorgang:
     gestörte Daten --> Lösungsverhalten -->
Resultat(ein)
    durch:
    exakte Daten--> Simulation der
Störeinflüsse -- gest&öuml;rte
Daten --> Lösungsverhalten -->
Resultat(viele)


    Da man im allgemeinen die exakten Daten des untersuchten Anwendungsproblems nicht kennt, ist man gezwungen, einen Datensatz (der möglichst große Ähnlichkeit mit den realen Daten hat) als "exakten" Datensatz anzusehen. Wenn möglich, sollte dies ein Datensatz sein, für den man das exakte Resultat kennt. Diesen festen Datensatz stört man nun in möglichst derselben Weise, wie es den Störeinflüssen (Meßfehler usw.) entspricht. Dies kann z.B. mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators erfolgen, dessen Ausgangswerte eine Verteilungsfunktion besitzen, die mit jener des simulierten Störfaktors übereinstimmt. Der Zufallsgenerator kann nun dazu verwendet werden eine bestimmte Anzahl von "gestörten Datensätzen" zu generieren, die als Input für das zu untersuchende Lösungsverfahren verwendet werden. Man erhält eine Menge von Lösungen (zu einem "exakten" Datensatz), deren Variabilität Aufschlüsse über die Datenfehlerempfindlichkeit gibt. Es soll hier nicht weiter auf die statische Analyse der erhaltenen Werte eingegangen werden, es sei nur davor gewarnt, aus einer kleinen Variabilität (Streuung) auf kleine Fehler zu schließen.

    Die experimentelle Sensitivitätsanalyse ist ein sehr nützliches Hilfsmittel zur Reduktion von Unsicherheiten, das aber auch seine Grenzen hat, vor allem dann, wenn man eine systematische Untersuchung aller Datenvariationen in Angriff nehmen will. Wenn z.B. ein Problem 100 skalare Eingangsdaten besitzt (z.B. die Elemente einer 10x10 Matrix) und man alle Konstellationen untersuchen will, die sich ergeben, wenn jedes Element entweder ungestört oder um +1% oder -1% gestört ist, dann sind hierfür 3<sup>100</sup>~5*10<sup>47</sup> Berechnungen erforderlich. Erst mit statischen Methoden kann man in dieser Situation eine sinnvolle Sensitivitätsanalyse durchführen, indem man mit Hilfe eines Zufallsgenerators eine handhabbare Teilmenge aus den 3100 möglichen Datenkonstellationen auswählt und als Berechnungseingang verwendet. Die Anzahl der durchzuführenden Berechnungen kann man dann nach statischen Gesichtspunkten und freilich nur nach Maßgabe des Aufwandes, den man zu investieren bereit ist, festlegen.


  • Fehleranalyse
  • Eine Alternative zur Sensitivitätsanalyse ist die Fehleranalyse, bei der eine mathematische Untersuchung der Auswirkungen verschiedener Unsicherheitsfaktoren in qualitativer und quantitativer Form vorgenommen wird. Für einen Berechnungsvorgang können oft verschiedene Arten von Fehleranalysen vorgenommen werden, die zu verschiedenen Ergebnissen führen. So gibt es z.B. bei der Lösung linearer Gleichungssysteme verschiedene mathematische Untersuchungen und entsprechend unterschiedliche Resultate bezüglich der Auswirkung von Datenfehlern (Datenunsicherheiten) auf den Resultatvektor.

    Die Fehleranalyse kann in mehrfacher Hinsicht Schwerigkeiten bereiten:

    1. Die erforderlichen mathematischen Untersuchungen könnten so kompliziert und aufwendig sein, daß eine Fehleranalyse unmöglich wird.
    2. Die Abschätzung der Auswirkungen der verschiedenen Unsicherheitsfaktoren kann unter Umständen so pessimistisch sein (d.h. die Auswirkungen werden so stark überschätzt), daß diese Aussagen der Fehleranalyse praktisch wertlos sind.
    3. Die Voraussetzungen der Fehleranalyse können so einschränkend sein, daß eine praktische Anwendung in den meisten Fällen nicht in Frage kommt; z.B. mathematische Aussagen über die Genauigkeit von Integrationsresultaten, bei denen Schranken für die höheren Abletungen der Integrandenfunktion benötigt werden, eignen sich kaum für eine praktische Fehleranalyse.

    Zusammenfassend kann gesagt werden: Weder die Sensitivitätsanalyse noch die mathematische Fehleranalyse liefern automatisierbare Möglichkeiten für die Validierung numerischer Berechnungen. Beide Techniken sind jedoch brauchbare Hilfsmittel, um den Grad der Zuverlässigkeit numerischer Berechnungen zu erhöhen. Für komplexe Problemstellungen mit hohen Zuverlässigkeitsanforderungen muß man stets auch mit einem großen Validierungsaufwand rechnen.


    Abschätzung der relativen Konditionszahlen linearer Probleme

    Im folgenden werden relative Konditionszahlen linearerinverser Probleme (z.B. linearer Gleichungssysteme) angegeben. Für lineare Operator und gilt für eine Menge B die eine nichtleere offene Kugel um einen Punkt enthält:

    , und ,

    d.h., die Lipschitz-Normen gehen in diesem Fall in die Abbildungsnormen über die Abhängigkeit von B entfält, und man erhä in einfacher Weise relative Konditionsabschätzungen.
    Auswirkungen der Störungen von y
    nimmt man an, daß nur y gestört ist ( F bleibt ungestört: = 0); so erhält man

    und zusammen mit

    schließlich
    .


    Auswirkung der Störungen von F

    Wenn nur Störungen der Funktion F berücksichtigt werden( y bleibt ungestört, sodaß = 0 gilt) erhält man

               =
                  
                               =  
    und somit
    

    Aus beiden Abschätzungen, d.h. bei beiden Arten der Störung eines linearen inversen Problems, erhält man als Konditionszahl, wobei aber der relative Fehler auf die gestörte Lösung bezogen ist. Die analoge Formel, bei der der relative Fehler auf x bezogen ist, folgt mit= 0:

    Relative Konditionsabschätzungen sind auch im nichtlinearen Fall möglich , falls geeignete Abschätzungen der Form

    und
    vorliegen, falls sich also die Funktionen F und im betrachteten Gebiet B "ähnlich" linearen Abbildungen verhalten
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