Abschätzung der relativen Konditionszahlen linearer Probleme

Im folgenden werden relative Konditionszahlen linearerinverser Probleme (z.B. linearer Gleichungssysteme) angegeben. Für lineare OperatorenF und gilt gemäss (2.36) für eine Menge B, die eine nichtleere offene Kugel um einen Punkt enthält:

, und ,

d.h., die Lipschitz-Normen gehen in diesem Fall in die Abbildungsnormen über, die Abhängigkeit von B entfält in einfacher Weise relative Konditionsabschätzungen.

Auswirkungen der Störungen von y
Nimmt man an, dass nur y gestört ist ( F bleibt ungestört: = 0); so erhält man aus (2.39)

und zusammen mit


schliesslich
.
Auswirkung der Störungen von F

Wenn nur Störungen der Funktion F berücksichtigt werden ( y bleibt ungestört, sodaß = 0 gilt ) erhält man aus (2.39)

           =
                      =  
und somit

(2.43)
Aus beiden Abschätzungen, d.h. bei beiden Arten der Störung eines linearen inversen Problems, erhält man als Konditionszahl, wobei aber in (2.43) der relative Fehler auf die gestörte Lösung . Die zu (2.43) analoge Formel, bei der der relative Fehler auf x bezogen ist, folgt aus (2.42) mit= 0:

Relative Konditionsabschätzungen sind auch im nichtlinearen Fall möglich, falls geeignite Abschätzungen der Form
und

vorliegen, falls sich also die Funktionen F und im betrachteten Gebiet B aähnlich linearen Abbildungen verhalten.